التفاضل هو احد فروع علم الرياضيات وهو يعنى بمقدار تناسب التغير عند نقطة معينة في علاقة ما ، ورياضياً مفاضلة الدالة(أو التابع) عند نقطة معينة هو مقياس لمقدار تغير متغيير بالنسبة لمتغير آخر.
المبدأ
يعتمد ط§ظ„طھظپط§ط¶ظ„ على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق
إذ أن قاعدة الميل هي: ΔصΔس
إذن Δس تؤول إلى صفر
أي أن س2-س1—->صفر
أي أن س2—->س1
وبما أن Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير معرفة
أي أن ΔصΔس : Δس—->صفر
= ص2-ص1س2-س1 : س2—->س1
= ق(س2)-ق(س1)س2-س1 : س2—->س1
ومن هنا نستنتج أن الاشتقاق هو ميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج أيضا أن المماس ليس مارا
بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر
طريقة الحل
نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلا:
كمتغيرات:
Δس = س2 – س1
س1 = س2 – Δس
س2 = Δس + س1
ونفرض Δس = هـ
أو يمكننا فرض س2 = ج
ونقوم بدلا من كتابة ص بكتابة ق(س)
أي أن المعادلة النهائية هي:
ق(س2) – ق(س1)س2 – س1 : س2—->س1 = ق(س + هـ) – ق(س)هـ : هـ—->صفر = ق(ج) – ق(س)ج – س : ج—->س1
مثال
أوجد مشتقةس²
وحسب القانون : ق(س+هـ)-ق(س)هـ : هـ—->صفر
ونعوض في المعادلة
س²+2س هـ+هـ²-س²هـ : هـ—->صفر
نحل المعادلة
س²-س²+هـ(2س+هـ)هـ : هـ—->صفر
= هـ(2س+هـ)هـ : هـ—->صفر
= 2س+هـ : هـ—->صفر
= 2س
وفعلا مشتقة س² = 2س
وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:
ق(س) = أس^ع+ب س^(ع-1)+…+ج
قَ(س) = (أ×ع)س^(ع-1)+(ب(ع-1))س^(س-2)+…+0
الاشتقاق الضمني
هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في الاقترانات التي ليست اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها.
فتمثيل الاشتقاق يكون ب ( دصدس ) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي أن ص = أس^ع+وس^ك+…
أي أن قيمة ص تحدد بقيمة س
وإذا أخذنا الاشتقاق ( دسدص ) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير وفقا ل ص
أي أن س = أص^ع+وص^ك+…
إذن دصدس تعبر عن ق(س) وكذلك دسدص يعبر عن د(ص)
ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا
مثال
إذا أردنا إيجاد دصدس في الاقتران
ق(س) = س³+3س²-2س+4
قَ(س) = 3س²+6س-2
وهذا وفقا لتعميم
والحل بالطريقة الجديدة
قَ(س) = 3س²( دسدس )+6س( دسدس )-2( دسدس )
وبما أن دسدس = 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي : قَ(س) = 3س²+6س-2
مثال 2
وإذا أردنا أن نجد مشتقة علاقة مثل معادلة الدائرة فإننا لن نستطيع بالاشتقاق العادي وإنما بالاشتقاق الضمني:
ղ+Ӳ=25
أوجد الميل في النقطة (3،4)
نقوم بالاشتقاق ل ( دصدس )
2ص × ( دصدس ) + 2س × ( دسدس ) = 0
نعوض
6 × ( دصدس ) + 8 = 0
نعتبر ( دصدس ) كمتغير ونحل المعادلة
6 × ( دصدس ) = -8
( دصدس ) = -86 = -43
يسلمو أختي على المعلومات :w32: