يطلق اسم التحليل الرياضي على فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الدوال الرياضية و تحولاتها باستخدام أدوات ترتبط بمفاهيم النهاية ، حيث تدرس خواص مثل الاستمرار و الاشتقاق و التكامل و التفاضل ، التقعر و الإنعطاف في منحنيات التوابع و الدوال، وغالباً ما تدرس هذه المفاهيم على أعداد حقيقية أو أعداد عقدية والدوال المعرفة عليها ومن الممكن أن تدرس أيضاً على فضاءات أخرى كالفضاء المتري أو الطبولوجي.
التاريخ
أول من عرف باستخدام مفاهيم النهايات والتقارب كان عدد من رياضيي اليونان أمثال اودوكسوس و أرخميدس الذين قاما باستخدام هذه المفاهيم بشكل غير تقليدي عندما استخدما طريقة method of exhaustion لحساب مساحة وحجم المساحات والأجسام. في القرن الثاني عشر قام الرياضي الهندي باسكارا بإعطاء عما يمكن أن ندعوه الان "معامل تفاضلي" وكانت الفكرة الأساسية وراء ما ندعوه حاليا مبرهنة رول. في القرن الرابع عشر قام الرياضياتي الهندي مادهافا من سانغاماغراما بالتعبير عن عدة دوال مثلثية كسلاسل غير متناهية ، قدر مقدار الخطأ في التقديرات التي تعطيها هذه السلاسل .
في أوروبا نشأ التحليل في القرن السابع عشر عن طريق اختراع مستقل لكلا العالمين اسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز. في القرن السابع عشر والثامن عشر، تطورت تطبيقات مواضيع التحليل مثل حسبان التغيرات والمعادلات التفاضلية النظامية و الجزئية، سلاسل فورييه و الدوال المولدة generating function في الأعمال التطبيقية .كما استخدم التحليل الرياضي لمقاربة مسائل الرياضيات المتقطعة بمثيلاتها المستمرة و نجحت هذه الطريقة في عدة حالات .
خلال القرن الثامن عشر كان تعريف الدالة الرياضي موضع نقاش طيل بين الرياضياتيين . في القرن التاسع عشر، كاوشي كان أول من وضع التحليل على أساس منطقي ثابت بإدخال مفهوم سلسلة كاوشي. كما أنه بدأ بوضع النظرية الشكلية للتحليل المركب (العقدي). سيمون بواسون وليوفيل Liouville و جان-بابتيست جوزيف فورييه وآخرون قاموا بدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية والتحليل التوافقي harmonic analysis.
في منتصف القرن قدم بيرنارد ريمان نظريته حول التكامل . جاء بعده كارل فايرشتراس الذي قام بحسبنة arithmetization التحليل في نهاية القرن التاسع عشر ، معبرا عن شكوكه ان البرهنة الهندسية تحوي خللا مضللا و هنا قام بتقديم تعريف ε-δ للنهاية .
بدأ عندها شك الرياضيون بأنهم يفترضون وجود استمرارية continuum في الأعداد الحقيقية بدون برهان . قام عندها ديديكايند بتشكيل الأعداد الحقيقية باستخدام حد ديديكايند Dedekind cut . في ذات الوقت تتالت المحاولات لتحسن مبرهنة تكامل ريمان مما أدى لدراسة "حجم" مجموعة تقطعات discontinuity الدوال الحقيقية .
ضمن هذا السياق ، قام كاميل جوردان بتطوير نظريته حول القياس ، في حين طور كانتور ما يمكن تسميته حاليا بنظرية المجموعات المبسطة ، باير قام بالبرهنة عن مبرهنة تصنيف باير . في أوائل القرن العشرين ، تمت صياغة التحليل الرياضي باستخدام نظرية المجموعات البدهياتية axiomatic set theory. قام هنري ليون ليبيسيغ Henri Leon Lebesgue بحل مشكلة القياس ، في حين قام هلبرت بتقديم فضاء هلبرت لحل المعادلات التكاملية . كانت فكرة الفضاء الشعاعي المنظم normed vector space تلوح في الأفق ، في عام 1920 قام ستيفان باناخ بإيجاد التحليل الدالي functional analysis .
فروع التحليل الرياضي
[اظهر]ع·ن·تمواضيع التحليل الرياضي
ما قبل حساب التفاضل والتكامل رسم بياني لدالة- دالة خطية- قاطع ( رياضيات )- ميل- مماس- تقعر- إختلاف محدود- راديان- عاملي- مبرهنة ثنائي الحدين- متغيرات مستقلة و متغيرات مرتبطة
النهايات نهاية دالة- نهاية متسلسلة- شكل غير محدد- جدول النهايات- مراتب التقريب- دالة منطقة مثلثية
حساب التفاضل إشتقاق- ترميز نيوتن للتفاضل- ترميز لايبنتز للتفاضل- ترميز نقطي للتفاضل-إشتقاق ثابت- قاعدة المجموع في التفاضل- قاعدة العامل الثابت في التفاضل- خطية التفاضل- حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود- إشتقاق (أمثلة)- قاعدة السلسلة- قاعدة الجداء- قاعدة ناتج القسمة- دالات عكسية و تفاضلها- تفاضل ضمني- نقطة ثابتة- حدود عليا وحدود دنيا- إختبار الإشتقاق الأولي- إختبار الإشتقاق الثاني- مبرهنة القيمة المتطرفة- معادلة تفاضلية- معامل تفاضلي- طريقة نيوتن- مبرهنة تايلور- قاعدة اوبيتال- قاعدة لايبنتز- مبرهنة القيمة المتوسطة- إشتقاق لوغاريتمي- تفاضل (رياضيات)- معدلات مترابطة
حساب التكامل إشتقاق عكسي-تكامل غير محدد-قاعدة المجموع في التكامل- قاعدة العامل الثابت في التكامل- خطية التكامل- ثابت إختياري في التكامل- المبرهنة الأساسية للتكامل- تكامل بالأجزاء- قاعدة المتسلسلة المعكوسة- قاعدة الاستبدال – تفاضل تحت الإشارة التكاملية- استبدال مثلثي- كسور جزئية في التكامل- تكامل من الدرجة الثانية- قاعدة شبه المنحرف
دوال و اعداد خاصة لوغاريتم طبيعي- إي (ثابت رياضي)- دالة أسية- تقريب ستيرلنج- أعداد بيرنولي
تكامل عددي قائمة مواضيع التحليل العددي- طريقة مستطيلِ- قاعدة شبه المنحرف- قاعدة سيمبسن- صيغ نيوتن – تربيع غاوسي
قوائم و جداول جدول الإشتقاقات-جدول الرموز الرياضية-قائمة التكاملات-قائمة بتكاملات التوابع المنطقة-قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة-قائمة بتكاملات التوابع المثلثية-قائمة بتكاملات التوابع الأسية-قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريثمية-قائمة بتكاملات التوابع القوسية-قائمة بتكاملات التوابع المساحية-خدع اللا نهاية
متغيرات متعددة إشتقاق جزئي- تكامل بالأقراص- تكامل بالإسطوانات- قرن غابرييل- مصفوفة جاكوبي- مصفوفة هس- تقوس- نظرية غرين-نظرية الإنحراف- نظرية ستوك
متسلسلات متسلسلة لانهائية- متسلسلة ماكلاورين، متسلسلة تايلور- متسلسلة فورييه- صيغة اويلر ماكلاورين
حساب التفاضل و التكامل غير القياسي حساب التفاضل والتكامل غير القياسي- كمية متناهية في الصغر- هكذا إستعمل أرخميدس الكميات اللامتناهية في الصغر
تاريخ التفاضل و التكامل عدد لامتناهي- غوتفريد لايبنتز- إسحاق نيوتن- طريقة الجريان- حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر- ساقية تايلور- كولن ماكلاورين- ليونارد اويلر
ومن فروع التحليل الرياضي
تحليل حقيقي.
تحليل مركب.
تحليل دالي.
نظرية المقياس.
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
نظرية التحويلات